Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Вокруг четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром в точке $O$. Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника перпендикулярны, $AB=4$, $DC=5$. Какие значения может принимать площадь треугольника $AOB$?
Ответ:
Решение:
В окружность с центром $O$ вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $M$, причём $AM=4$, $AB=6$. Определите, какой может быть наименьшая длина диагонали $BD$, если известно, что стороны $AB$ и $AD$ равноудалены от точки $O$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CAD=\angle CDB$ и $\angle BAD=\angle CDA=60^\circ$.
1. Можно ли в четырехугольник $ABCD$ вписать окружность?
2. Найдите минимум отношения стороны $BC$ к стороне $AD$.
1. Можно ли в четырехугольник $ABCD$ вписать окружность?
2. Найдите минимум отношения стороны $BC$ к стороне $AD$.
Ответ:
Решение:
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $BC=CD=AD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?
Ответ:
Решение:
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $AB=BC=CD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг $ABCD$ окружности?
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовем точку эквидистантной, если найдутся две вершины куба, для которых эта точка является серединой отрезка. Сколько эквидистантных точек в кубе?
Ответ:
Решение:
Сумма длин двух ребер прямоугольного параллелепипеда равна 2020, а произведение равно длине третьего ребра. Найдите диагональ этого параллелепипеда, если известно, что она на 1 длиннее третьего ребра.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ не длиннее, чем 3, 4 и 5 соответственно, а площади граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$ не меньше, чем 6, $15/2$ и 10 соответственно. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной пирамиды, проведённая из вершины основания к противоположной боковой грани, равна 4. Какие значения может принимать площадь полной поверхности такой пирамиды?
Ответ:
Решение:
Гора имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $ABCD$ и вершиной $S$, причём длина ребра основания равна 13 км, а боковые грани наклонены к основанию под углом $\beta$ ($\cos\beta=0{,}6$). Скорость туриста на ровной поверхности составляет 4 км/ч, а при подъёме или спуске под углом $\alpha$ к горизонту равна $4\cos^2\alpha$ км/ч. Может ли турист, находящийся в точке $A$, успеть на автобус, отходящий ровно через 6 часов 15 минут из точки $C$, если в середине пути он обязательно делает 9-минутную остановку?
Ответ:
Решение:
Пять рёбер тетраэдра имеют длины 2, 4, 5, 9 и 13. Определите, может ли при этом длина шестого ребра:
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
Ответ:
Решение:
Боковые рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ взаимно перпендикулярны. Точка $D$ лежит на основании пирамиды $ABC$ на расстоянии $\sqrt5$ от ребра $SA$, на расстоянии $\sqrt{13}$ от ребра $SB$ и на расстоянии $\sqrt{10}$ от ребра $SC$. Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды $SABC$ при этих условиях?
Ответ:
Решение:
Через точки $L$, $M$, $N$, лежащие соответственно на рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$, проведена плоскость. Известно, что рёбра тетраэдра равны 1, объём пирамиды $ALMN$ равен $\sqrt{2}/48$ и $AL=1/3$. Какие значения может принимать длина отрезка $MN$?
Ответ:
Решение:
Однажды два друга вложили деньги в общее дело: каждый вложил свою сумму, а вместе — 1 млн руб. За ночь один из них вложил в то же дело дополнительную сумму. Сколько всего денег он вложил в итоге, если его новая доля в общем деле оказалась в 7 раз больше прежней, тогда как доля другого — в 3 раза меньше прежней?
Ответ:
Решение:
Через точку, лежащую на оси цилиндра радиуса $\sqrt3$ и отстоящую от ближайшего к ней основания цилиндра на расстояние 1, проведена плоскость. Найдите объём меньшей части цилиндра, отсекаемой этой плоскостью, если угол между осью цилиндра и плоскостью равен $60^\circ$.
Ответ:
Решение:
Развёртка боковой поверхности усечённого конуса с образующей, равной 12, представляет собой часть кругового кольца с центральным углом $\frac{2\pi}{3}$. Найдите радиусы оснований этого усечённого конуса, если площадь его поверхности равна площади полного кругового кольца.
Ответ:
Решение:
На плоскости основания конуса с высотой, равной радиусу основания, дана точка (вне конуса), удалённая от окружности основания на расстояние, равное двум радиусам основания. Найдите угол между касательными плоскостями к боковой поверхности конуса, проходящими через данную точку.
Ответ:
Решение:
Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по $60^\circ$. Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.
Ответ:
Решение:
Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды $SABC$ равен $\mathrm{arctg}\,3$. В каком отношении делит боковую сторону $SB$ сфера, центр которой лежит в плоскости основания, если известно, что вершины основания принадлежат сфере?
Ответ:
Решение:
В желобе, имеющем форму двугранного угла величины $2\arcsin\frac{1}{3}$, неподвижно лежит шар радиуса 3, касаясь при этом обеих граней. Другой шар скользит вдоль желоба, также постоянно касаясь каждой из граней, и проскальзывает мимо неподвижно лежащего шара, не сталкиваясь с ним и даже не касаясь его. Найдите все возможные значения радиуса скользящего шара.
Ответ:
Решение: