Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В озере плавает груша массой $500$ г, причём $1/5$ часть её находится над водой. Сверху грушу принимается клевать воробей со скоростью $120$ г/мин, а снизу её одновременно начинает поедать карась со скоростью $180$ г/мин. В итоге они съедают всю грушу. Сколько грамм груши съест карась?
Ответ:
Решение:
Маша и Даша должны посадить по $80$ кустиков клубники каждая. Маша первую половину работы делает с некоторой фиксированной скоростью, а при выполнении второй половины работы увеличивает скорость на $3$ кустика в час. Даша первую половину работы проделывает со скоростью в $\dfrac76$ раз больше Машиной, а на вторую половину работы она увеличивает свою скорость ещё на два кустика в час. Известно, что Маша на всю работу затратила не менее $6$ часов, а Даша — не более $\dfrac{75}{14}$ часов. Сколько кустиков в час высаживала Маша первоначально?
Ответ:
Решение:
На обед есть борщ, плов и торт. Мама может съесть весь борщ за $13$ минут, весь плов — за $10$ минут, а весь торт — за $20$ минут. Вовочка кушает гораздо быстрее: весь борщ он может съесть за $6$ минут, весь плов — за $8$ минут, весь торт — за $10$ минут. Вовочка распределил продукты между собой и мамой так, чтобы обед закончился за наименьшее время. Сколько минут они обедали?
Ответ:
Решение:
Дана функция $g(x)=\dfrac{4\sin^4x+5\cos^2x}{4\cos^4x+3\sin^2x}$. Найдите:
а) корни уравнения $g(x)=\dfrac75$;
б) наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)$.
а) корни уравнения $g(x)=\dfrac75$;
б) наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Пусть \[ \frac{16\sin^2x-21-8\sqrt7\cos x}{27-16\cos^2x-24\sin x}=1. \] Какое наибольшее значение может принимать $5\sin x$?
Ответ:
Решение:
Найдите решения уравнения \[ \dfrac{\cos x}{\cos 3x}-\dfrac{\cos 5x}{\cos x}=8\sin x\sin 3x, \] удовлетворяющие неравенству $\sin x\geqslant 0$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{6\cos^2x+4\sin^2x-5}+\dfrac{\cos x\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{5-4\cos^2x-6\sin^2x}=-\dfrac{\sqrt{3}\operatorname{tg}2x}{2}. \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x}=\sqrt{3}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}+\operatorname{tg}2x\right). \]
Ответ:
Решение:
Пусть \[ \dfrac{21-16\sin^2x+8\cos x}{16\cos^2x-29-8\sqrt{15}\sin x}=2. \] Какое наибольшее значение может принимать $7\cos x$?
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \frac{\cos 8x}{\cos 3x+\sin 3x}+\frac{\sin 8x}{\cos 3x-\sin 3x}=\sqrt2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьший корень уравнения \[ \operatorname{ctg}6x-\operatorname{tg}5x=\dfrac{1}{\cos 5x}, \] принадлежащий отрезку $\left[\dfrac{8\pi}{17};\dfrac{40\pi}{17}\right]$.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений: \[ \begin{cases} \mathrm{tg}\,x=\dfrac{20}{9}\cos y,\\ \mathrm{tg}\,y=\dfrac{20}{9}\cos z,\\ \mathrm{tg}\,z=\dfrac{20}{9}\cos x\ ? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \sin y+\cos x=\sin 3x\quad\text{и}\quad \sin 2y-\sin 2x=\cos 4x-\cos 2x. \] Какое наименьшее значение может принимать сумма $\cos y+\sin x$?
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sqrt{2}\cos y=\dfrac{3}{2},\\ \sqrt{2}\sin y+\sqrt{3}\cos x=\dfrac{5}{2}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение выражения $\cos(x+y+z)$, если числа $x$, $y$, $z$ являются решениями системы \[ \begin{cases} \sqrt{\frac59+\cos x}=\frac34\sin z+\frac23\operatorname{ctg} z,\\ \sqrt{\frac59+\cos y}=\frac34\sin x+\frac23\operatorname{ctg} x,\\ \sqrt{\frac59+\cos z}=\frac34\sin y+\frac23\operatorname{ctg} y. \end{cases} \] Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
Дана система уравнений \[ \begin{cases} \sin(x+y)=9\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right),\\ \cos(x+2y)-\sqrt3\sin(x+2y)=-16\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right). \end{cases} \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y$, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух.
Ответ:
Решение: