Поиск задач

Из клетчатой доски размером $70\times70$ вырезали 2018 клеток. Докажите, что доска распалась не более чем на 2018 кусков. Два куска, не имеющие общих точек кроме вершин клеток, считаются не соединёнными друг с другом.

Среди десяти человек ровно один лжец и 9 рыцарей. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждому из них дали карточку с натуральным числом от 1 до 10, причем все числа на карточках различны. Любому можно задать вопрос: «Верно ли, что на твоей карточке написано число $M$?» ($M$ может быть только натуральным числом от 1 до 10.) Верно ли, что за 17 таких вопросов можно гарантированно найти лжеца?

В вершинах правильного 300-угольника расставлены числа от 1 до 300 по одному разу в некотором порядке. Оказалось, что для каждого числа $a$ среди ближайших к нему 15 чисел по часовой стрелке столько же меньших $a$, сколько и среди 15 ближайших к нему чисел против часовой стрелки. Число, которое больше всех 30 ближайших к нему чисел, назовём огромным. Каково наименьшее возможное количество огромных чисел?

Вершина $F$ параллелограмма $ACEF$ лежит на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$. Известно, что $AC=AD$ и $AE=2CD$. Докажите, что $\angle CDE=\angle BEF$.

Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны и пересекаются в точке $K$. Внутри треугольников $AKD$ и $BKC$ выбрали точки $P$ и $Q$ соответственно так, что \[ \angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ. \] Докажите, что прямая $PQ$ параллельна биссектрисе угла $AKD$.

Целые числа $a$, $b$, $c$ и натуральное число $n$ таковы, что $a+b+c=1$ и $a^2+b^2+c^2=2n+1$. Докажите, что $a^3+b^2-a^2-b^3$ делится на $n$.

Петя загадал натуральное число $N$, Вася хочет его отгадать. Петя сообщает Васе сумму цифр числа $N+1$, затем сумму цифр числа $N+2$ и т. д. Верно ли, что рано или поздно умный Вася сможет с гарантией установить Петино число?

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего 500 000, и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}. \]