Поиск задач

Дано натуральное $n\gt 2$. Маша записывает по кругу $n$ натуральных чисел. Далее Тая делает такую операцию: между каждыми двумя соседними числами $a$ и $b$ она пишет некоторый делитель числа $a+b$, больший 1; затем Тая стирает исходные числа и получает новый набор из $n$ чисел, стоящих по кругу. Всегда ли Тая может выполнять операции таким образом, чтобы через несколько операций все числа оказались равными?

Дано нечётное число $n\geqslant 3$. В клетчатом квадрате $2n\times2n$ закрашивают $2(n-1)^2$ клеток. Какое наибольшее количество трёхклеточных уголков можно гарантированно вырезать из незакрашенной клетчатой фигуры?

Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога — отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки — зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше предыдущей. Кузнечик хочет пропрыгать вперёд по дороге по этим дощечкам, наступив на каждую зелёную дощечку хотя бы один раз и не наступив ни на одну красную дощечку (или границу между соседними дощечками). Докажите, что кузнечик может сделать это так, чтобы среди длин его прыжков встретилось не более 8 различных значений.

Пусть даны натуральные числа $x_1$ и $x_2$. На прямой даны $y_1$ белых отрезков и $y_2$ чёрных отрезков, при этом $y_1\geqslant x_1$ и $y_2\geqslant x_2$. Известно, что никакие два отрезка одного цвета не пересекаются (даже не имеют общих концов). Также известно, что при любом выборе $x_1$ белых отрезков и $x_2$ чёрных отрезков обязательно какая-то пара выбранных отрезков будет пересекаться. Докажите, что \[(y_1-x_1)(y_2-x_2)\lt x_1x_2.\]

Дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ — середина дуги $ABC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $E$, а на отрезке $CD$ — точка $F$. Известно, что $ME=MD=MF$. Докажите, что точки $B$, $M$, $E$ и $F$ лежат на одной окружности.

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A+\angle D=90^\circ$, его диагонали пересекаются в точке $E$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$, $CD$, $AE$ и $ED$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Известно, что $AZ=CE$ и $BE=DT$. Докажите, что длина отрезка $XY$ не больше диаметра описанной окружности треугольника $ETZ$.

Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел $p^{23}$, $p^{24}$, $q^{23}$ и $q^{24}$. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа $p$ и $q$.

Дано натуральное число $n$. Илья задумал пару различных многочленов степени $n$ (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени $n$. Лёня знает $n$; его цель — выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из $k$ вещественных чисел $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_k$ и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу $2\times k$: для каждого $i=1,2,\ldots,k$ он вписывает в две клетки $i$-го столбца пару чисел $P(x_i)$, $Q(x_i)$ (в любом из двух возможных порядков), где $P$ и $Q$ — задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем $k$ Лёня сможет (глядя на таблицы) наверняка добиться цели?