Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
Изначально по кругу расставлены 40 синих, 30 красных и 20 зелёных фишек, причём фишки каждого цвета идут подряд. За ход можно поменять местами стоящие рядом синюю и красную фишки, или стоящие рядом синюю и зелёную фишки. Можно ли за несколько таких операций добиться того, чтобы любые две стоящие рядом фишки были разных цветов?
Ответ:
Решение:
В компании 100 детей, некоторые дети дружат (дружба всегда взаимна). Известно, что при выделении любого ребёнка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей.
Ответ:
Решение:
Кондитерская фабрика выпускает $N$ сортов конфет. На Новый год фабрика подарила каждому из 1000 учеников школы подарок, содержащий по конфете нескольких сортов (составы подарков могли быть разными). Каждый ученик заметил, что для любых 11 сортов конфет он получил конфету хотя бы одного из этих сортов. Однако оказалось, что для любых двух сортов найдётся ученик, получивший конфету ровно одного из этих двух сортов. Найдите наибольшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $x^2+y^2+z^2=1$. Докажите, что \[(x-y)(y-z)(x-z)\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}.\]
Ответ:
Решение:
В окружности $\omega$ с центром в точке $O$ провели непересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ так, что $\angle AOB=\angle COD=120^\circ$. Касательная к $\omega$ в точке $A$ пересекает луч $CD$ в точке $X$, а касательная к $\omega$ в точке $B$ пересекает луч $DC$ в точке $Y$. Прямая $\ell$ проходит через центры окружностей, описанных около треугольников $DOX$ и $COY$. Докажите, что $\ell$ касается $\omega$.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle ABE=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $DME$.
Ответ:
Решение:
На доске написаны пять натуральных чисел. Оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. Обязательно ли среди этих чисел найдутся четыре равных?
Ответ:
Решение:
На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
Ответ:
Решение:
Серёжа выбрал два различных простых числа $p$ и $q$. Он считает натуральное число $n$ хорошим, если число $p+q$ можно представить в виде суммы ровно $q$ чисел, каждое из которых имеет вид $n^k$ при целом неотрицательном $k$. (Например, если бы Серёжа выбрал $p=7$ и $q=3$, то он бы счёл число $n=2$ хорошим, поскольку $7+3=2^3+2^0+2^0$.) Докажите, что Серёжа считает хорошими не более двух чисел.
Ответ:
Решение: