Поиск задач

Пусть $F$ — множество точек в пространстве, все координаты которых являются целыми числами, не превосходящими по модулю 5. Найдите количество прямоугольных треугольников, все вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из трех координатных осей.

Решите уравнение \[ \sqrt{6\left(1-\mathrm{tg}^2x\right)}=4\sin x. \]

На прямоугольной полоске \[ 0\leqslant x\leqslant 1,\quad -1\leqslant y\leqslant 1 \] построили графики функций \[ y=\sin k\pi x\quad\text{для всех } k\in\{11,13,17\}. \] На сколько непересекающихся областей окажется разделена эта полоска?

В множество $A$ входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное 9 (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество $A$ и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шестого и последнего.

При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ 3x^2\log_a x-\log_x a-2x\geqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?

Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию:
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?

Три графика параболы $y=Cx^2$ повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1.

Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида \[ y=\pm x^2+c,\quad\text{где } c\in\mathbb{Z}. \] Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Размер тетрадной страницы (высота $\times$ ширина) равен $210\times 297$ мм.
Клеточкой называется часть листа, со всех сторон ограниченная параболами и не пересекаемая другими параболами. Вовочка последовательно соединяет по прямой соседние вершины каждой клеточки, в результате чего у него получаются четырехугольники. Найдите наибольшую из площадей получившихся у Вовочки четырёхугольников (внутри которых нет никаких проведённых Вовочкой линий).