Поиск задач

Решить уравнение \[\left(\sqrt3\cos 2x+\sin 2x\right)^2=7+3\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right).\]

Найти острые углы и площадь прямоугольного треугольника, если угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла треугольника, равен $\alpha$, а длина биссектрисы равна $l$.

Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа $\dfrac{13}{6}$, $\dfrac{75}{2}$ и $\dfrac{389}{6}$. Найти разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.

Внутри конуса с вершиной $A$ и высотой 8 расположены сфера $S_1$ с центром $O_1$ радиуса 1 и сфера $S_2$ с центром $O_2$ радиуса $\dfrac14$, причём $O_1O_2=\dfrac32$. Сфера $S_1$ касается плоскости основания конуса в его центре $O$. Обе сферы $S_1$ и $S_2$ касаются образующей конуса $AB$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Прямые $O_1O_2$ и $AB$ пересекаются в точке $L$. Плоскость $\Pi$ касается обеих сфер и пересекает отрезок $A_1A_2$ в его середине $M$. Найти длины отрезков $A_1A_2$ и $O_2L$, а также расстояния от точек $L$ и $A$ до плоскости $\Pi$.

Решить систему уравнений \[\begin{cases} 8y\log_yx+(y-4x)\log_xy=16x+2y,\\ 16x\log_yx+(y-7x)\log_xy=8x.\end{cases}\]

Решить неравенство \[\sqrt{\sqrt{2x+\dfrac94}+\dfrac32}\geqslant x.\]