Поиск задач

Дан треугольник $ABC$ такой, что $AB=30$, $BC=24$, $AC=18$. На стороне $BC$ отмечено последовательно $23$ точки: $B_1, B_2, \ldots, B_{23}$ так, что эти точки разбивают $BC$ на $24$ единичных отрезка. Аналогично, на стороне $AC$ отмечено последовательно $17$ точек: $A_1, A_2, \ldots, A_{17}$ так, что эти точки разбивают $AC$ на $18$ единичных отрезков. Сколько существует треугольников с площадью $11$ и вершинами, которые выбираются из точек $A, A_1, A_2, \ldots, A_{17}, B, B_1, B_2, \ldots, B_{23}, C$?

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac{a^3}{b}-2ab=4,\\ \dfrac{b^3}{a}-3ab=8. \end{cases} \]

Из множества $M$, состоящего из пяти подряд идущих натуральных чисел, выбираются четвёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из четвёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$, если $p^2-q^2=240$.

$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Точка $M$ — середина стороны $AB$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AH=MK$ и $AK=5$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ 4x^2-(4a+8)x+a^2+4a=0 \] имеет два действительных корня, которые отличаются ровно в $5$ раз.

Остроугольный треугольник $ABC$ площади $80$ вписан в окружность с центром $O$, а $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его высоты. Найдите площадь треугольника $BOA_1$, если площади треугольников $COB_1$ и $AOC_1$ равны $12$ и $20$ соответственно.

Компания владеет тремя заводами, производящими некоторые приборы. Затраты на поддержание заводов в рабочем состоянии везде одинаковы, а вот затраты непосредственно на производство продукции разные. Выпуск $q$ ($q\in\mathbb{N}$) приборов в месяц потребует на первом заводе $2q^2$ тыс.руб., на втором заводе $2q^2+2q$ тыс.руб., и на третьем $2q^2-q$ тыс.руб. Каждый завод может выпускать до $100$ приборов в месяц. Как нужно распределить производство продукции между заводами, чтобы за месяц выполнить с наименьшими затратами заказ на $250$ приборов?