Поиск задач

Спортсмен планирует свой режим тренировок на два месяца. В течение $60$ дней ему необходимо провести $9$ тренировок, причём после каждой тренировки, кроме последней, должны обязательно идти три дня перерыва, не включающие день тренировки. Сколькими способами он может составить себе расписание? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).

Решите систему \[ \begin{cases} x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{100}^2=x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{100}x_1,\\ |x_1-1|+|x_2-2|+\ldots+|x_{100}-100|\leqslant 2500. \end{cases} \]

Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел имеет ровно $6$ делителей. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ a+\frac{x^2}{a}=\max\left(2+\frac{x}{a};\,1-\frac{2x}{a}\right) \] имеет нечётное количество решений?

Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $3$, то полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Найдите сумму всех четырёх корней этих уравнений.

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $2$. На его стороне $AC$ выбрана такая точка $D$, что $BD=4$, а $\angle ADB=60^\circ$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

$CH$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, вписанного в окружность с центром $O$, а $AC\gt BC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $AOC$ равна $10$, а площадь треугольника $AOH$ равна $12$.