Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
На доске написаны числа $1, 2, 3, \ldots, 27$. За одну операцию Саша может выбрать два числа на доске, стереть их и записать на доску сумму стёртых чисел. Такими операциями он хочет добиться, чтобы на доске не нашлись одно или несколько чисел, сумма которых равна $27$ (сумма одного числа это само это число). Какое наименьшее количество операций придётся сделать Саше?
Ответ:
Решение:
Функция $f$, определенная на действительных числах, принимает действительные значения. Известно, что для любых действительных $x$ и $y$ выполнено равенство\[f(x)f(y)=f(7x-y).\]Найдите все такие функции $f$.
Ответ:
Решение:
Наименьшее значение функции\[\sqrt{x_1^2+1^2}+\sqrt{x_2^2+2^2}+\sqrt{x_3^2+3^2}+\ldots+\sqrt{x_{2023}^2+2023^2}\]для неотрицательных $x_1, x_2, \ldots, x_{2023}$, сумма которых равна $k$, равно $2023\cdot 2024$. При каком значении параметра $k$ такое возможно?
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ удовлетворяет условиям\[a_0=0,\quad a_1\neq 0,\quad a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+a_{n+1}}\quad\text{при всех } n\geqslant 0.\]Какие значения может принимать $a_{2024}$?
Ответ:
Решение:
Партию новогодних шаров необходимо сложить в коробки так, чтобы в каждой коробке лежали шарики. Если использовать коробки вместимостью $90$ шаров, то ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если взять на $3$ коробки больше, но в которые помещается по $80$ шаров, то вновь ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если же взять ещё на $12$ коробок больше, но вместимостью $50$ шаров, то все коробки будут полными. Сколько шаров могло быть в партии?
Ответ:
Решение:
Ортогональной проекцией правильной треугольной пирамиды на некоторую плоскость является равнобокая трапеция с острым углом $60^\circ$. Известно, что объём пирамиды равен $72$. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
Про действительные числа $a, b, c$ известно, что\[\begin{cases}ac-3=4b^2,\\2bc-3=a^2.\end{cases}\]Найдите все значения, чему может быть равно $ab$.
Ответ:
Решение:
Векторы $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3,\vec a_4$, расположенные в одной плоскости с вектором $\vec b$, имеют равную длину, отличную от длины вектора $\vec b$. Известно, что $\vec a_2+\vec b-2\vec a_1=8\vec a_4+\vec b-9\vec a_3=\vec 0$, $|\vec a_3-\vec b|=8$. Найдите $|\vec a_1-\vec b|$.
Ответ:
Решение:
Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $11$ членов прогрессии равна $6$, а сумма обратных величин этих членов равна $24$. Найдите шестой член прогрессии.
Ответ:
Решение: