Поиск задач

Окружность с центром в точке $O$, лежащей на стороне $AB$ треугольника $ABC$, проходит через точку $A$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$, а сторону $BC$ — в точках $L$ и $M$. Известно, что $KC=CL=MB=2$, $AK=3$. Найдите отношение длин отрезков $AO$ и $OB$.

Через точки $M$, $N$, $K$, $L$, лежащие соответственно на рёбрах $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ ($S$ — вершина), проведена плоскость. Известно, что $MK\perp NL$, $SN=3\cdot SL$ и площадь треугольника $SMK$ равна 12. Найдите площадь треугольника $SLN$.

У Маши есть два разных стакана цилиндрической формы. Она заметила, что пакет муки можно так высыпать в эти стаканы, что уровень муки в первом стакане составит 12 см, а во втором — 10 см, или так, что уровень муки в первом стакане составит 9 см, а во втором — 12 см. На каком уровне окажется мука в каждом из этих стаканов, если муку из пакета высыпать в стаканы поровну?

Найдите все значения параметра $a$, при которых для любого значения параметра $b$ неравенство \[(a+b)x^2+(3b-4a+7)x+4a-2b-6\geqslant 0\] имеет хотя бы одно решение.

Положительные числа $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$, $b_5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10. Найдите эти числа, если $\log_3 b_1\cdot\log_3 b_5=3$.

Сколько различных решений на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ имеет уравнение \[6\sqrt{2}\cos x\operatorname{ctg}x-2\sqrt{2}\operatorname{ctg}x+3\cos x-1=0\,?\] Найдите эти решения.