Поиск задач

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4\cos^2 2x\cdot\sin^2\dfrac x3+4\sin\dfrac x3-4\sin^2 2x\cdot\sin\dfrac x3+1=0,\\ \sin\dfrac x2+\sqrt{\cos y}=0. \end{cases} \]

Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $819\cdot6^{2016}$. Найдите знаменатель прогрессии.

Определите все значения $a$, при которых уравнение \[ 4x^2-16|x|+(2a+|x|-x)^2=16 \] имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a$.

В сферу радиуса $R$ вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота относится к стороне основания, как $\sqrt2:\sqrt3$. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани? Найдите отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.

Решите неравенство $\left(\log_x^2(7x-6)-4\right)(\cos\pi x-1)\leqslant0$.

На оси $Oy$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=0{,}5\left(x-(1/2)\right)^2$, угол между которыми равен $45^\circ$.

На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ выбрана точка $K$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $8$ и $2$ соответственно. Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $3$. Найдите сторону ромба $ABCD$ и радиус окружности, вписанной в этот ромб.

Найдите множество значений функции \[ f(x)=\operatorname{arctg}\sqrt{6\log_{0{,}25}^{-1}\left(\dfrac{\sin x}{\sin x+15}\right)}. \]

Друзья Вася, Петя и Коля живут в одном доме. Однажды Вася и Петя пешком отправились на рыбалку на озеро. Коля остался дома, пообещав приятелям встретить их на велосипеде на обратной дороге. Первым домой отправился Вася, одновременно с ним навстречу на велосипеде выехал Коля. Петя с той же скоростью, что и Вася, отправился с озера домой в момент встречи Коли и Васи. Коля, встретив Васю, сразу же развернулся и довез его домой, а затем тотчас же снова на велосипеде двинулся по дороге к озеру. Встретив Петю, Коля вновь развернулся и довез приятеля до дома. В результате, время, затраченное Петей на дорогу с озера домой, составило $5/4$ от времени, затраченного Васей на тот же путь. Во сколько раз медленнее Вася добрался бы до дома, если бы весь путь он прошел бы пешком?

Решите неравенство $\dfrac{\sqrt{x^2-5}}{x}-\dfrac{x}{\sqrt{x^2-5}}\lt \dfrac56$.