Поиск задач

На столе лежат 140 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 417, 420$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?

На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |x-1|+|5-x|\leqslant 4,\\ \dfrac{x^2-6x+2y+7}{y+x-4}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$, $AD\gt BC$). Окружность $\Omega$ вписана в угол $BAD$, касается отрезка $BC$ в точке $C$ и повторно пересекает $CD$ в точке $E$ так, что $CE=9$, $ED=7$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь трапеции $ABCD$.

Окружности $\omega$ и $\Omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\omega$ и $\Omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $C$, а также пересекает $\omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $H$ лежит между точками $P$ и $F$). Известно, что $BC=60$, $DH=HC=2$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.

Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-2ax+3$, $f_2(x)=x^2+x+b$, $f_3(x)=3x^2+(1-4a)x+6+b$ и $f_4(x)=3x^2+(2-2a)x+3+2b$. Пусть разности корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что $|A|\neq|B|$. Найдите отношение $\dfrac{C^2-D^2}{A^2-B^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $\frac{48}{7}$, а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $\frac{144}{17}$.

Найдите все значения переменной $x$, при каждом из которых оба выражения \[ f(x)=\sqrt{21-x^2-4x}\quad\text{и}\quad g(x)=|x+2| \] определены, причём $\min(f(x);g(x))\gt \dfrac{x+4}{2}$.