Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
На $100$ мест за круглым столом посадили $50$ мужчин и $50$ женщин. Будем называть человека довольным, если у него есть сосед противоположного пола. Может ли отношение числа довольных мужчин к числу довольных женщин быть больше $1{,}9$?
Ответ:
Решение:
В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $n$ существуют $n$ чисел из интервала $(-1;1)$, таких, что их сумма равна $0$, а сумма их квадратов равна $30$?
Ответ:
Решение:
Группа авантюристов показывает свою добычу. Известно, что ровно у $13$ авантюристов есть рубины; ровно у $9$ — изумруды; ровно у $15$ — сапфиры; ровно у $6$ — бриллианты. Кроме того, известно, что
- если у авантюриста есть сапфиры, то у него есть или изумруды, или бриллианты (но не то и другое одновременно);
- если у авантюриста есть изумруды, то у него есть или рубины, или сапфиры (но не то и другое одновременно).
Ответ:
Решение:
Даша написала на доске числа $9, 10, 11, \ldots, 22$, а потом стёрла одно или несколько из них. Оказалось, что оставшиеся на доске числа нельзя разбить на несколько групп так, чтобы суммы чисел в группах были равны. Какое наибольшее значение может иметь сумма оставшихся на доске чисел?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $n$ можно покрасить каждое натуральное число в один из $n$ цветов так, чтобы любые два числа, отличающиеся на $5$, на $8$, на $10$, на $13$ и на $18$, были покрашены в разные цвета?
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $1, 2, 3, \ldots, 27$. За одну операцию Саша может выбрать два числа на доске, стереть их и записать на доску сумму стёртых чисел. Такими операциями он хочет добиться, чтобы на доске не нашлись одно или несколько чисел, сумма которых равна $27$ (сумма одного числа это само это число). Какое наименьшее количество операций придётся сделать Саше?
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $\Pi$ разбит прямыми, параллельными его сторонам, на девять маленьких прямоугольников. Про какое наименьшее количество маленьких прямоугольников достаточно узнать площади, чтобы можно было однозначно определить площадь прямоугольника $\Pi$?
Ответ:
Решение:
Федерация спортивной борьбы присвоила каждому участнику соревнования квалификационный номер. Известно, что во встречах борцов, квалификационные номера которых отличаются более чем на $2$ номера, всегда побеждает борец с меньшим номером. Турнир для $256$ борцов проводится по олимпийской системе: в начале каждого дня бойцы разбиваются на пары, проигравший выбывает из соревнований (ничьих не бывает). Какой наибольший квалификационный номер может иметь победитель?
Ответ:
Решение:
Пете необходимо спаять электрическую схему, состоящую из $10$ чипов, соединённых между собой проводами (один провод соединяет два различных чипа; два чипа может соединять не более одного провода), при этом из одного чипа должно выходить $9$ проводов, из одного — $8$, из одного — $7$, из двух — по $5$, из трёх — по $3$, из одного — $2$, из одного — $1$. Может ли Петя спаять такую схему?
Ответ:
Решение:
В первенстве по футболу участвует $20$ команд, которые играют по разу друг с другом. Какое наименьшее число игр должно быть сыграно, чтобы среди любых трёх команд нашлись две, уже сыгравшие между собой?
Ответ:
Решение:
В группе из $80$ человек некоторые знакомы друг с другом (знакомства взаимны). Известно, что в группе есть человек, который знает ровно $1$ из оставшихся, человек, который знает ровно $2$ из оставшихся, …, человек, который знает ровно $54$ из оставшихся. Докажите, что в группе есть три человека, каждые два из которых знакомы.
Ответ:
Решение:
В классе $24$ ученика, у каждого ровно $3$ друга среди одноклассников. Однажды на каникулах $6$ учеников подписались на канал по олимпиадной математике. После этого ученики стали общаться между собой. Когда ученик узнаёт, что хотя бы двое из его друзей уже подписались на канал, он также подписывается на этот канал. Могло ли в итоге случиться, что весь класс подписался на канал?
Ответ:
Решение:
Ваня сдал три ЕГЭ. По русскому языку он набрал на $5$ баллов меньше, чем по физике, а по физике — на $9$ баллов меньше, чем по математике. Золотая рыбка, приснившаяся Ване, обещала выполнить любое количество желаний следующих видов:
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?
Ответ:
Решение:
Карлсон написал дробь $5/8$. Малыш может:
- прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно;
- умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.
Ответ:
Решение:
Пусть $B$ — множество действительных чисел, не содержащее $0$ и $1$. Известно, что если $b\in B$, то $\dfrac{1}{b}\in B$ и $1-\dfrac{1}{b}\in B$. Может ли в $B$ быть ровно $1000$ элементов?
Ответ:
Решение:
Андрей, Максим, Игорь и Коля соревновались в велогонке. На вопрос, кто какое место занял, они ответили:
Андрей: — Я не был ни первым, ни последним.
Максим: — Я не был последним.
Игорь: — Я был первым.
Коля: — Я был последним.
Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?
Андрей: — Я не был ни первым, ни последним.
Максим: — Я не был последним.
Игорь: — Я был первым.
Коля: — Я был последним.
Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?
Ответ:
Решение:
На острове рыцарей и лжецов прошло математическое соревнование между командой рыцарей (которые всегда говорят правду) и командой лжецов (которые всегда лгут). В каждой команде было три человека. На соревновании предлагалось три задачи: одна по алгебре, другая по геометрии, третья по комбинаторике. После соревнования участники рассказали следующее.
Артём: «Наша команда решила все задачи».
Борис: «Мы решили ровно две задачи — по геометрии и комбинаторике».
Василий: «Мы решили ровно две задачи — по алгебре и по геометрии».
Григорий: «Наша команда справилась с задачей по алгебре».
Дмитрий: «Мы не решили геометрию».
Евгений: «Мы не решили только комбинаторику».
Определите состав команды рыцарей.
Артём: «Наша команда решила все задачи».
Борис: «Мы решили ровно две задачи — по геометрии и комбинаторике».
Василий: «Мы решили ровно две задачи — по алгебре и по геометрии».
Григорий: «Наша команда справилась с задачей по алгебре».
Дмитрий: «Мы не решили геометрию».
Евгений: «Мы не решили только комбинаторику».
Определите состав команды рыцарей.
Ответ:
Решение:
На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо обычный человек (может и говорить правду, и лгать). Жители этого острова А и В сказали следующее. А: «B — рыцарь». В: «А — не рыцарь». Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.
Ответ:
Решение:
На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо обычный человек (может как говорить правду, так и лгать). Рыцари считаются людьми высшего ранга, обычные люди — среднего, а лжецы — низшего. А, В и С — жители этого острова. Один из них — рыцарь, другой — лжец, а третий — обычный человек. А и В сказали следующее. А: «В по рангу выше, чем С». B: «С по рангу выше, чем А». Что ответил С на вопрос: «Кто выше по рангу — А или В?»
Ответ:
Решение: