Олимпиада «Физтех»

Среди всех решений уравнения \[3\,930\,400x=y^z,\] где $x$, $y$, $z$ — натуральные числа, причём $z\geqslant2$, найдите такое, при котором $x$ принимает наименьшее значение. В ответе укажите соответствующее значение $y$.

Трапеция $ABCD$, основание $AD$ которой вдвое больше основания $BC$, вписана в окружность $\omega$. Прямая, проходящая через вершину $B$ параллельно $CD$, пересекает вторично окружность $\omega$ в точке $P$, а сторону $AD$ — в точке $N$. Найдите периметр трапеции $ABCD$, если известно, что $BN=4$, $PN=9$.

В арифметической прогрессии, состоящей из $11$ членов, сумма квадратов первых пяти членов на $0{,}75$ больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии.

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$ с центром в точке $O$, причём радиус $\Omega$ больше радиуса $\omega$. На луче с началом в точке $O$, пересекающем окружность $\Omega$ в точке $A$, отмечена точка $B$ такая, что $OB\gt OA$. На окружности $\omega$ выбраны точки $K$ и $M$ таким образом, что прямые $AM$ и $BK$ касаются этой окружности. Прямая $BL$ касается окружности $\Omega$ в точке $L$. Найдите наибольшую возможную длину $BL$, если $AM=20$, $BK=29$.

На доске написаны подряд идущие натуральные числа от $1$ до $301$ (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на $3$ после этого не изменился?

Из пункта $A$ в пункт $C$ по прямолинейной железной дороге с постоянной скоростью $60$ км/ч движется поезд. В точке $B$, расположенной на расстоянии $2$ км от железной дороги и на расстоянии $3$ км от точки $A$, находится мотоциклист. С какой минимальной постоянной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы догнать поезд, если известно, что угол $BAC$ острый? Ответ дайте в км/ч.

Найдите количество всех пар натуральных чисел $(x;y)$, при которых является верным равенство \[x^2+x+5y=1\,000\,002.\]

Для положительных чисел $x$ и $y$ с суммой $7$ Петя выписал на доску числа \[\dfrac{x^2+y^2}{x+y},\quad\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},\quad\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}.\] Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Какое наибольшее значение может принимать сумма $x^2+y^2$?

Города $X$ и $Y$ расположены на реке, причём $X$ — выше по течению, а между ними находится пристань П. В 8:00 катамаран и лодка находились в городе $X$, плот — у пристани П, а катер — в городе $Y$. Они одновременно начали движение: катер — вверх по течению, а катамаран, лодка и плот — вниз по течению. Известно, что лодка и плот встретились в том же самом месте, где катамаран встретился с катером. Кроме того, катамаран и плот встретились в том же самом месте, где встретились лодка и катер. Все движутся с постоянными скоростями, скорость катера в $6$ раз больше скорости плота (то есть одно и то же расстояние катер проходит в $6$ раз быстрее, чем плот), а места встречи плота с лодкой и с катамараном различны. Найдите отношение расстояния $X\text{П}$ к расстоянию $\text{П}Y$.

В вершинах правильного $50$-угольника разместили $49$ белых и $1$ чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?