Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ \dfrac{|\cos x|-\cos3x}{\cos x\sin2x}=\dfrac{2}{\sqrt3}. \]

Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $291000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $291$.

Решите систему \[ \begin{cases} x^2+y^2\leqslant2,\\ 81x^4-18x^2y^2+y^4-360x^2-40y^2+400=0. \end{cases} \]

Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} x=|y-b|+\dfrac{3}{b},\\ x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $BAD$ и $BCD$ соответственно, при этом первая касается стороны $AD$ в точке $K$, а вторая касается стороны $BC$ в точке $T$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $AK=2$, $CT=8$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_2$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.