Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство $\sqrt{x^2-25}\cdot\sqrt{-2x-1}\leqslant x^2-25$.

Дана функция $g(x)=\dfrac{4\sin^4x+5\cos^2x}{4\cos^4x+3\sin^2x}$. Найдите:
а) корни уравнения $g(x)=\dfrac75$;
б) наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac{1}{y+z}=-\dfrac{2}{15},\\ \dfrac1y+\dfrac{1}{x+z}=-\dfrac23,\\ \dfrac1z+\dfrac{1}{x+y}=-\dfrac14. \end{cases} \]

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:5$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих условию $5x^2-6xy+y^2=6^{100}$.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся число $b$ такое, что система \[ \begin{cases} x^2+y^2+2a(a+y-x)=49,\\ y=\dfrac{8}{(x-b)^2+1} \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.