Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ \dfrac{|\cos x|-\cos3x}{\cos x\sin2x}=\dfrac{2}{\sqrt3}. \]

Решите уравнение \[ \left(\frac{x}{243}\right)^{\log_2\frac{9x}{4}}=\frac{729}{x^4}. \]

Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $445000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $445$.

Решите систему \[ \begin{cases} x^2+y^2\leqslant 1,\\ 16x^4-8x^2y^2+y^4-40x^2-10y^2+25=0. \end{cases} \]

На ребре $BB_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $T$ такая, что $BT:B_1T=2:5$. Точка $T$ является вершиной прямого кругового конуса, такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся число $b$ такое, что система \[ \begin{cases} x=|y+a|+\dfrac{4}{a},\\ x^2+y^2+24+b(2y+b)=10x \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $ABC$ и $ADC$ соответственно, при этом первая касается стороны $BC$ в точке $K$, а вторая касается стороны $AD$ в точке $T$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $BK=3\sqrt{3}$, $DT=\sqrt{3}$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.