Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[\left|x^3+4\right|+\left|x^2-1\right|\leqslant\left|x^3-x^2+5\right|.\]

Сколько существует троек натуральных чисел $(a;b;c)$ таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение $abc$ равно $2^{150}\cdot3^{300}$?

Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие уравнению \[x^2(y-2)-x(13y-27)+44y-94=0.\]

Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\Omega$. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, $CF$ — биссектриса угла $C$ треугольника $ABC$. Прямые $ED$ и $CF$ пересекаются в точке $G$, принадлежащей $\Omega$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $BCF$ в $16$ раз больше площади треугольника $DGF$.

На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^5+ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-3x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и сторону квадрата.

Числа $a$, $b$ и $c$ не все равны между собой, и при этом \[a+\dfrac5b=b+\dfrac5c=c+\dfrac5a.\] Найдите минимально возможное значение произведения $abc$.

Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=17$, $XY=31$.