Олимпиада «Физтех»

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $ab$ делится на $2^{14}7^{10}$, $bc$ делится на $2^{17}7^{17}$, $ac$ делится на $2^{20}7^{37}$. Найдите наименьшее возможное значение произведения $abc$.

Известно, что дробь $\dfrac ab$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[\dfrac{a+b}{a^2-6ab+b^2}.\] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?

Центр окружности $\omega$ лежит на окружности $\Omega$, хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $C$ так, что $AC:CB=7$. Найдите длину $AB$, если известно, что радиусы $\omega$ и $\Omega$ равны $1$ и $5$ соответственно.

Решите уравнение \[\sqrt{2x^2-5x+3}-\sqrt{2x^2+2x+1}=2-7x.\]

На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-12;24)$, $Q(3;24)$ и $R(15;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $2x_2-2x_1+y_2-y_1=12$.

Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся значение параметра $b$, при котором система \[\begin{cases} ax-y+10b=0,\\ \bigl((x+8)^2+y^2-1\bigr)(x^2+y^2-4)\leqslant 0\end{cases}\] имеет ровно $2$ решения.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Пусть $M$ — середина той дуги $AB$ описанной окружности, которая не содержит точку $C$; $N$ — середина той дуги $AC$ описанной окружности, которая не содержит точку $B$. Найдите расстояние от вершины $A$ до центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если расстояния от точек $M$ и $N$ до сторон $AB$ и $AC$ соответственно равны $4{,}5$ и $2$.