Олимпиада «Физтех»

Три натуральных числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если ко второму прибавить 2, а к третьему прибавить 12, то получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Чему равна сумма трёх данных чисел, если знаменатель геометрической прогрессии равен 3?

Первый пешеход отправился из пункта $A$ в пункт $B$, и одновременно с ним второй пешеход отправился из пункта $B$ в пункт $A$. Они встретились через 3 часа. Известно, что второму пешеходу на прохождение 19% пути $AB$ требуется на $\dfrac{21}{25}$ часа больше, чем первому пешеходу на прохождение $\dfrac{1}{11}$ пути $AB$. За сколько часов пройдёт путь $AB$ первый пешеход?

Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ 5\sin^2 x-2a\sin x\cos x+8\cos^2 x=4 \] не имеет решений.

Сколько есть способов расставить 6 книг в шкафу с 10 полками так, чтобы 4 заданные книги из этих 6 стояли на одной полке рядом друг с другом (в любом порядке), если расстановки, отличающиеся порядком книг на полке, считаются различными?

На рёбрах $SA$, $SB$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены точки $Q$, $P$ соответственно, причём $SQ:QA=3:5$ и $SP:PB=1:5$; $R$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Плоскость $PQR$ пересекает ребро $BC$ в точке $D$. Найдите длину отрезка $CD$, если известно, что длина $BC=7$.

Про квадратичную функцию $f(x)=ax^2+bx+2$ известно, что \[ a\lt 0\quad\text{и}\quad f(7)=0. \] Какое наибольшее количество целых чисел может быть решением неравенства $ax^4+bx^2+2\gt 0$?

Внутри прямоугольника $PQST$ расположены окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга в точке $C$. Известно, что окружность $\Omega$ касается сторон $PQ$, $PT$, $ST$, а окружность $\omega$ — сторон $PQ$ и $QS$; кроме того, прямая $CS$ является общей касательной к окружностям. Найдите радиус $R$ окружности $\Omega$, если известно, что радиус окружности $\omega$ есть $r=3$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Про многочлен \[ q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6 \] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_6$ по модулю равен 0, 1 или 2, а значение $q(3)=546$. Найдите максимально возможное значение $q(4)$.

За круглый стол сели 138 мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?

Угол $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$, а $AB\gt AC$. Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис, а $H$ — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите $\angle ABC$, если $\angle AHI=78^\circ$. Ответ укажите в градусах.