Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[ \log_{\frac{2-x}{1-x}}(4-x)\leqslant 2. \]

Решите уравнение \[ \dfrac{\sin^3 x\cos 3x+\cos^3 x\sin 3x}{|\sin 2x|}=\dfrac{3}{4}. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x+\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\dfrac{42}{x+y},\\ xy-x=16. \end{cases} \]

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ равна $2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{2}{3}$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{1}{5}$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x+y^4-2y^2=\ln x,\\ 2\operatorname{arctg}x+\arcsin y=0. \end{cases} \]

В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\frac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$; $\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{\sqrt{7}}$, $\frac{AS}{LS}=\frac{3}{2}$. Найти углы $SAB$ и $SBH$, высоту пирамиды и её объём.