Олимпиада «Физтех»

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $1$, угол $ABC$ равен $2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что площадь треугольника $ABC$ вчетверо больше площади треугольника $ADC$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ и радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$.

Решите уравнение \[ \dfrac{\sin 3x\cos 5x-\sin 2x\cos 6x}{\cos x}=0. \]

Решите неравенство \[ \sqrt{\dfrac{18-x}{2+x}}\gt -x. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \log_x(y+1)=4\log_{x+2}\sqrt{y-1},\\ \log_{y-1}(x+2)=\log_x\left(\dfrac{x^3}{y+1}\right). \end{cases} \]

Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} |x-1|+|x+1|-2y=0,\\ x^2+y^2-2ay+2a=1 \end{cases} \] имеет ровно три различных решения.

Основанием треугольной пирамиды $SABC$ является правильный треугольник $ABC$ со стороной $5$. Боковое ребро $SC$ перпендикулярно основанию и имеет длину $15$. Сфера, центр $O$ которой лежит в плоскости $SBC$, касается рёбер $SA$, $AB$ и $AC$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите $AA_1$, расстояние от точки $O$ до ребра $BC$ и радиус сферы.