Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[ \log_{x+2}\left(\sqrt{x+3}+1\right)\leqslant 1. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sqrt{25-x^2}-\sqrt{25-y^2}=1,\\ \sqrt{25-x^2}+\sqrt{25-y^2}=y^2-2x^2+2x+3. \end{cases} \]

Решите уравнение \[ \sin 3x+3|\sin x|=\cos 4x-\cos 2x. \]

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $ABCD$ равна $\sqrt{2}$, высота $SO$ равна $2$. Точка $K$ лежит на высоте $SO$, причём $KS:KO=1:3$. Через точку $K$ проведена плоскость $\Pi$, перпендикулярная прямой $SA$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\Pi$, расстояние от точки $D$ до плоскости $\Pi$ и угол между плоскостью $\Pi$ и прямой $SD$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sqrt{2}\cos y=\dfrac{3}{2},\\ \sqrt{2}\sin y+\sqrt{3}\cos x=\dfrac{5}{2}. \end{cases} \]

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Длины её боковых сторон $AB$ и $CD$ равны соответственно $3$ и $5$, а длина основания $AD$ больше длины $BC$. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно $5/11$. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины её диагоналей.