Олимпиада «Физтех»

Решите неравенство \[ \frac{125+\left(\log_{\frac12}x^4\right)^3}{\log_2x^4\cdot\log_2x^2+6\log_{\frac12}x^4+17\log_2x^2-3}\geqslant 0. \]

Решите уравнение \[ \left(\frac74-2\cos 2x\right)|2\cos 2x+1|=\cos x(\cos x-\cos 5x). \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac{1}{y+z}=\dfrac{1}{12},\\ \dfrac1y+\dfrac{1}{x+z}=\dfrac16,\\ \dfrac1z+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac12. \end{cases} \]

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:7$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих условию $6x^2-7xy+y^2=10^{100}$.

Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} x^2+y^2+2b(b-x+y)=4,\\ y=5\cos(x-a)-12\sin(x-a) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.

В основании четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$, в котором $CD=3$ и $\angle ABD=30^\circ$. Сфера проходит через вершины $D$, $C$, $B$, $B_1$, $A_1$, $D_1$.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $D$.
б) Найдите угол $C_1AB$.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен $6$. Найдите объём призмы.