Олимпиада «Физтех»

Каких целых чисел от 1 до 60 000 (включительно) больше и на сколько: содержащих в своей записи только чётные цифры или содержащих в своей записи только нечётные цифры?

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+g(x)$ равно $-6$.

Уравнение $x^2+ax+6=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1-\dfrac{72}{25x_2^3}=x_2-\dfrac{72}{25x_1^3}. \] Найдите все возможные значения $a$.

На каждой из прямых $y=3$ и $y=4$ отмечено по 73 точки с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 73$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?

На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отмечена точка $T$ такая, что $\angle BAC=2\angle BTC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $AB=AC$, $BT=70$, $AT=37$.

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от шестнадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна 276, а сумма расстояний от этих же шестнадцати чисел до некоторого числа $b$ равна 748. Найдите все возможные значения $a$, если известно, что $a+b=62{,}5$.

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть $P$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD$, а $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $CBD$. Луч $BP$ пересекает сторону $DA$ в точке $M$, а луч $DQ$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Оказалось, что $AM=\frac{9}{7}$, $DM=\frac{12}{7}$ и $BN=\frac{20}{9}$, $CN=\frac{25}{9}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.