Олимпиада «Физтех»

Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2+1$ и $y=f(x)$ равно $3\sqrt2$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)-2$ равно $\sqrt{10}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=f(x)$.

Известно, что \[ \frac{\cos 3x}{(2\cos 2x-1)\cos y}=\frac25+\cos^2(x+y)\quad\text{и}\quad\frac{\sin 3x}{(2\cos 2x+1)\sin y}=\frac35+\sin^2(x+y). \] Найдите все возможные значения выражения $\cos(x+3y)$, если известно, что их не менее двух.

Есть 207 различных карточек с числами $1, 2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{103}, 3^{103}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа, делящегося на 6?

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=2:3$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.

Решите неравенство \[ \log_{1+x^2}\left(1+27x^5\right)+\log_{1-2x^2+27x^4}\left(1+x^2\right)\leqslant 1+\log_{1-2x^2+27x^4}\left(1+27x^5\right). \]

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых у системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+y^2=26(y\sin 2a-x\cos 2a),\\ x^2+y^2=26(y\cos 3a-x\sin 3a) \end{cases} \] существуют два решения $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ такие, что расстояние между точками $P(x_1;y_1)$ и $Q(x_2;y_2)$ равно 10.

Дана усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$ с боковыми рёбрами $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ ($ABC\parallel A_1B_1C_1$), такая, что треугольник $ABA_1$ — равносторонний. На ребре $CC_1$, перпендикулярном основанию $ABC$ пирамиды, лежит точка $M$ такая, что $CM:MC_1=1:2$. Сфера $\Omega$ с радиусом $\sqrt5$ проходит через вершины треугольника $ABA_1$ и касается отрезка $CC_1$ в точке $M$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.