Олимпиада «Физтех»

Высоты $CF$ и $AE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AH$ и $CH$ соответственно. Известно, что $FM=2$, $EN=5$, и при этом $FM\parallel EN$. Найдите $\angle ABC$, площадь треугольника $ABC$ и радиус описанной около него окружности.

На доске написано несколько попарно различных натуральных чисел. Если самое маленькое увеличить в 32 раза, то сумма чисел на доске станет равной 477. Если же самое большое число увеличить в 14 раз, то сумма чисел на доске также станет равной 477. Какие числа могли быть написаны на доске?

На плоскости $Oxy$ даны точка $A$, координаты $(x;y)$ которой удовлетворяют уравнению $5a^2-6ax-2ay+2x^2+2xy+y^2=0$, и окружность с центром в точке $B$, заданная уравнением $a^2x^2+a^2y^2-8a^2x-2a^3y+12ay+a^4+36=0$. Найдите все значения параметра $a$, при которых точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $y=1$ (точки $A$ и $B$ не лежат на этой прямой).

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x^2+3y^2-2x^2y^2=3,\\ x^4+y^4+\dfrac23x^2y^2=17. \end{cases} \]

У фокусника есть набор из $12^2$ различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая — синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник хочет вытащить две карточки так, чтобы среди них был хотя бы один дубль, и при этом никакое число не встречалось одновременно на обеих вытянутых карточках. Сколькими способами он может это сделать?

Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.