Олимпиада «Физтех»

Свободный член квадратного трёхчлена увеличили на $3$, в результате чего квадрат разности его корней уменьшился на $2$. Затем к свободному члену полученного трёхчлена прибавили число $d$, и квадрат разности его корней уменьшился ещё на $4$. Найдите $d$.

Сколько пар целых чисел $(x;y)$ удовлетворяет уравнению \[ \sqrt{3x}+\sqrt{2y}=\sqrt{2024^2\cdot\sqrt{2025}}? \]

Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[ \begin{cases} 10\cdot\min(a;b)+\max(a;b)=2a+3b,\\ \bigl(\min(a;b)\bigr)^2+\text{НОД}(a;b)=6. \end{cases} \]

На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ такая, что $\angle BAC+\angle BPC=180^\circ$. Найдите $AC$, если известно, что $AB=5$, $BP=3$, $CP=4$.

$5$ сундуков закрыты на $3$ замка каждый, все ключи ко всем замкам различны. Найдите количество способов выбрать из всех $15$ ключей $6$ так, чтобы с помощью них можно было открыть хотя бы один сундук.

На дуге полукруга с центром $O$ и диаметром $MN$ взята точка $K$. Построен равносторонний треугольник $ABC$ с длиной стороны, равной радиусу полукруга, так, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите $\angle MOK$.

Найдите наименьшее значение выражения \[ M=|b|+|5a-b|+|2a+b-3|, \] где $a$ и $b$ — действительные числа. При каких $a$ и $b$ оно достигается?