Олимпиада «Ломоносов»

Вычислите \[ \frac{(x-y)(x^4-y^4)}{x^2-y^2}-\frac{2xy(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2} \] при $x=1{,}\underbrace{2\ldots2}_{46}$ и $y=-2{,}\underbrace{7\ldots7}_{45}8$.

Решите неравенство \[ \frac{3\cdot 2^{1-x}+1}{2^x-1}\geqslant\frac{1}{1-2^{-x}}. \]

Найдите площадь трапеции $ABCD$ с боковой стороной $BC=5$, если расстояния от вершин $A$ и $D$ до прямой $BC$ равны 3 и 7 соответственно.

Решите уравнение \[ \log_4\left(4\sin^2 2x\right)=2-\log_2(-2\,\mathrm{tg}\,x). \]

На окружности взята точка $A$, на её диаметре $BC$ — точки $D$ и $E$, а на его продолжении за точку $B$ — точка $F$. Найдите $BC$, если $\angle BAD=\angle ACD$, $\angle BAF=\angle CAE$, $BD=2$, $BE=5$ и $BF=4$.

Решите неравенство \[ 5|x|\leqslant x\left(3x+2-2\sqrt{8-2x-x^2}\right). \]

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенными из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие $30^\circ$. Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 4x-\bigl|3x-|x+a|\bigr|=9|x-1| \] имеет хотя бы один корень.

Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной лодке по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попеременно то по течению, то против: в каждую сторону — в общей сложности не менее чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь 40 км (относительно берега) и, отчалив от пристани $A$, причалила к пристани $B$ на расстоянии 10 км от $A$. В какую сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость её течения?

При каждом натуральном $n$ тело $\Phi_n$ в координатном пространстве задано неравенством \[ 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n\lt 1, \] а тело $\Phi$ — объединение всех тел $\Phi_n$. Найдите объём тела $\Phi$.