Олимпиада «Ломоносов»

Вычислите \[ \log_4\log_2\underbrace{\sqrt{\sqrt{\ldots\sqrt{16}}}}_{40}. \]

Что больше: $\mathrm{tg}\,\dfrac{11\pi}{6}$ или меньший корень квадратного трёхчлена $11x^2-17x-13$?

Решите уравнение \[ \cos\left(x^2+x\right)+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)=0. \]

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Отрезок $AB$ является диаметром первой окружности, а отрезок $BC$ — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает первую окружность в точке $D$ и касается второй окружности в точке $E$, при этом $BD=9$ и $BE=12$. Найдите радиусы окружностей.

Из пункта $A$ в пункт $B$ в 8:00 выехал велосипедист, а через некоторое время из $B$ в $A$ вышел пешеход. Велосипедист прибыл в $B$ через 6 часов после выхода оттуда пешехода. Пешеход пришёл в $A$ в 17:00 того же дня. Скорости велосипедиста и пешехода постоянны. Какую долю пути из $A$ в $B$ проехал велосипедист до его встречи с пешеходом?

Решите неравенство \[ \sqrt{4-x}-2\leqslant x|x-3|+4x. \]

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ \cos 2x-2a\sin x-|2a-1|+2=0 \] имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.

В треугольной пирамиде $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, $\angle SCB=90^\circ$, $BC=\sqrt5$, $AC=\sqrt7$. Последовательность точек $O_n$ строится следующим образом: точка $O_1$ — центр сферы, описанной около пирамиды $SABC$, и для каждого натурального $n\geqslant2$ точка $O_n$ есть центр сферы, описанной около пирамиды $O_{n-1}ABC$. Какую длину должно иметь ребро $SA$, чтобы множество $\{O_n\}$ состояло ровно из двух различных точек?

На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером $m\times n$ клеток, причём числа $m$ и $n$ взаимно просты и $m\lt n$. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найдите все возможные значения $m$ и $n$ при данных условиях.

Решите неравенство \[ 4(1-\mathrm{tg}\,x)^{2004}+(1+\mathrm{tg}\,x)^{2006}\geqslant 2^{2006}. \]