Олимпиада «Ломоносов»

Дан параллелограмм $ABCD$ и выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ такие, что точка $A$ является серединой отрезка $DD_1$, точка $B$ — серединой $AA_1$, точка $C$ — серединой $BB_1$ и точка $D$ — серединой $CC_1$. Найдите площадь $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $S(ABCD)=1$.

а) Найдите количество натуральных делителей числа $N=1\underbrace{00\ldots0}_{40}$, не являющихся ни точными квадратами (т. е. квадратами натуральных чисел), ни точными кубами;
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.

Решить систему\[\begin{cases}x^2=2\sqrt{y^2+1},\\ y^2=2\sqrt{z^2-1}-2,\\ z^2=4\sqrt{x^2+2}-6.\end{cases}\]

Коля сел играть в WoW в момент, когда часовая и минутная стрелка были противоположны. Он закончил играть через целое число минут, причём в момент окончания минутная стрелка совпала с часовой. Сколько времени он играл (если известно, что он играл меньше 12 часов)?

Найдите все пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых выполняется равенство\[n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1).\]

Две окружности радиусов $R$ и $R'$ касаются друг друга внешним образом в точке $P$ и касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $Q$ — точка пересечения прямой $BP$ с первой окружностью. Определить, на каком расстоянии от прямой $l$ расположена точка $Q$.

Доказать, что если числа $x$, $y$ и $z$ — целые, то число\[\frac12\left((x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4\right)\]является квадратом некоторого целого числа.

Сколькими различными способами можно выбрать целые числа $a,b,c\in[1;100]$ так, чтобы точки с координатами $A(-1;a)$, $B(0;b)$ и $C(1;c)$ образовывали прямоугольный треугольник?