Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

Во время диспансеризации медсестра измерила рост всех семиклассников и составила гистограмму (диаграмму частот значений). На горизонтальной оси отмечается рост в сантиметрах, а на вертикальной — доля семиклассников, имеющих такой рост.

а) Найдите цену деления на вертикальной оси.
б) Найдите медиану роста семиклассников.

Приведите пример числового набора, у которого медиана равна 1, среднее арифметическое равно 3, а мода равна 5.
Модой числового набора называется число, которое встречается в наборе большее число раз, чем любое другое число. Например, в наборе 1, 2, 2, 2, 3, 3 модой является число 2.

Перед взлётом стюардесса предлагает пассажирам лимонные и апельсиновые леденцы в одинаковых обёртках. Сначала на подносе у стюардессы было 130 лимонных и 70 апельсиновых леденцов. Каждый желающий пассажир берёт один-два случайных леденца. В какой-то момент на подносе остались леденцы только одного вида. Какова вероятность того, что все оставшиеся на подносе леденцы апельсиновые?

В летнем математическом лагере много школьников. Вероятность того, что двое случайно выбранных школьников уже знакомы, равна $p$ (независимо от того, с кем ещё они знакомы). Какова вероятность того, что из четверых случайно выбранных школьников один знает всех остальных, а из оставшихся троих никто не знает друг друга?

В группе 8 российских туристов. Трое из них говорят по-английски, а двое других — по-испански. Остальные говорят только по-русски. Группу случайным образом разбивают на две подгруппы по 4 человека в каждой. С какой вероятностью в одной из подгрупп не будет никого, кто говорит по-английски, а в другой — никого, кто говорит по-испански?

Игроки А. и Б. играют в орлянку, бросая монету 100 раз. Если выпадет орёл, то игрок Б. отдаёт рубль игроку А., а если решка, то игрок А. отдаёт рубль игроку Б. Монета несимметричная, поэтому А. имеет преимущество: математическое ожидание его выигрыша при 100 бросках равно 7 рублям. Известно, что в первый раз выпал орёл. Найдите математическое ожидание выигрыша игрока А. при этом условии.

Из одинаковых квадратов составляется фигура: левый столбик состоит из одного-единственного квадрата, а в каждом следующем столбике на один или на два квадрата больше, чем в предыдущем. В самом правом столбике ровно $n$ квадратов. Докажите, что количество различных фигур, которые можно построить таким способом, равно $n$-му числу Фибоначчи. На рисунке показана одна из таких возможных фигур высотой 5 квадратов.

Два первых числа Фибоначчи равны единице: $f_1=1$, $f_2=1$, а далее каждое число равно сумме двух предыдущих: $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$.

В некотором городе был проведён опрос респондентов в случайной выборке, состоящей из взрослых горожан. Им предлагались два вопроса: «Есть ли у вас банковская карта?» и «Делаете ли вы покупки в Интернете?». Объём выборки был от 1500 до 2000 человек. Для обработки собранные данные были переданы Рассеянному Учёному, который после изучения результатов воскликнул:
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «У горожанина есть банковская карта» и «Горожанин делает покупки в интернете», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав — эти события действительно оказались независимы. Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.

	Есть карта	Нет карты
Делает покупки в интернете	81	245
Не делает покупки в интернете	1142	535

Оцените (найдите примерно) общее количество участников опроса. Объясните свои рассуждения.

Осенью Ольга Павловна сварила варенье в огромной кастрюле. Соседка Ольги Павловны Мария Петровна сделала то же самое. И кастрюля у неё даже больше, чем у Ольги Павловны. Варенье Ольга Павловна разливала по литровым банкам до тех пор, пока в кастрюле не осталось меньше литра. И Мария Петровна сделала то же самое, а потом она съела ровно половину варенья, оставшегося у неё в кастрюле. Какова вероятность того, что если после этого Мария Петровна и Ольга Павловна сольют остатки своего варенья вместе, то смогут заполнить ещё одну литровую банку?