Московская математическая олимпиада

Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ принимает в точках $1/a$ и $c$ значения разных знаков. Докажите, что корни трёхчлена $f(x)$ имеют разные знаки.

Найдите все значения $a$, для которых найдутся такие $x$, $y$ и $z$, что числа $\cos x$, $\cos y$ и $\cos z$ попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа $\cos(x+a)$, $\cos(y+a)$ и $\cos(z+a)$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ с центром $O$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ соответственно, что $\angle AOP=\angle COQ=\angle ABC$.
а) Докажите, что $\angle ABP=\angle CBQ$.
б) Докажите, что прямые $AQ$ и $CP$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$.

Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно $n$ исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от $1$ до $99999999$ можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее $n$, при котором это возможно?

Многочлен $P(x)$ удовлетворяет условиям: $P(0)=1$, $(P(x))^2=1+x+x^{100}Q(x)$, где $Q(x)$ — некий многочлен. Докажите, что коэффициент при $x^{99}$ в многочлене $(P(x)+1)^{100}$ равен нулю.

В королевстве некоторые пары городов соединены железной дорогой. У короля есть полный список, в котором поименно перечислены все такие пары (каждый город имеет свое собственное имя). Оказалось, что для любой упорядоченной пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, а король не заметил бы изменений. Верно ли, что для любой пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, второй город оказался названным именем первого города, а король не заметил бы изменений?