Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Точка $R_1$ — середина отрезка $ST$; точка $R_2$ — середина отрезка $SR_1$; для каждого $n\geqslant 3$ точка $R_n$ — середина отрезка $R_{n-2}R_{n-1}$. Пусть $R$ — предельное положение точки $R_n$ при $n\to\infty$. Найдите длину отрезка $RT$, если длина отрезка $ST$ равна $15$.

При каком наименьшем $n$ можно покрасить каждое натуральное число в один из $n$ цветов так, чтобы любые два числа, отличающиеся на $5$, на $8$, на $10$, на $13$ и на $18$, были покрашены в разные цвета?

На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями. Процентное содержание компонентов в этих сплавах приведено в таблице.

	1	2	3
Молибден	8%	3%	8%
Титан	36%	21%	6%
Алюминий	55%	76%	15%

Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше $38\%$, а молибдена — не меньше $5\%$. Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=9$, $BC=2$ и боковыми сторонами $AB=5$, $CD=3\sqrt{2}$. Точка $P$ на прямой $BC$ такова, что периметр треугольника $APD$ наименьший из возможных. Найдите этот периметр.

Решите систему уравнений\[\begin{cases}x_1^{10}+x_2^{10}+\ldots+x_{92}^{10}=3^{10}\\x_1^{33}+x_2^{33}+\ldots+x_{92}^{33}=3^{33}.\end{cases}\]

Укажите все значения параметра $a$, $|a|\lt 1$, при которых множество решений неравенства\[\frac{|\cos t-a|-\sin t}{\left|\cos t-\frac{3}{4}\right|}\gt 0\]для $t\in(0;\pi)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Дано действительное число $t$, отличное от $0$, $1$, $-1$, $\frac{1}{2}$ и $2$. Решите уравнение\[\frac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}=\frac{(t^2-t+1)^3}{t^2(t-1)^2}.\]Ответ может зависеть от $t$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$, а $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания этих сторон со вписанной окружностью соответственно. Прямые $A_1C_1$, $B_1C_1$ пересекают $A_0B_0$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $CC_1$ делит отрезок $XY$ пополам.

Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых существует такое вещественное число $a$, что при всех вещественных $x$, $y$ выполнено равенство\[2f(xy+3)=f(x)f(y)-f(x)-2y+a.\]

В группе из $80$ человек некоторые знакомы друг с другом (знакомства взаимны). Известно, что в группе есть человек, который знает ровно $1$ из оставшихся, человек, который знает ровно $2$ из оставшихся, …, человек, который знает ровно $54$ из оставшихся. Докажите, что в группе есть три человека, каждые два из которых знакомы.