Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Петя и Вася выходят одновременно из пункта $A$ и идут в пункт $B$: Петя по шоссе, а Вася по тропинке. Найти расстояние между $A$ и $B$ по шоссе, если путь по тропинке короче пути по шоссе на 5 км, скорость движения Васи 3 км/ч, а скорость Пети — натуральное число и он приходит в $B$ на один час позже Васи.

Решите уравнение \[\sqrt{25\sin x+24}+2\sqrt{3}\cos x=0.\]

Решите неравенство \[\log_{\frac{1}{16}}x\geqslant-2^{-x}.\]

Решите уравнение $f\left(\sqrt{x+4}\right)=f(2x)$, где $f(t)=2t-t^2$ при всех действительных $t$.

Через точки $L$, $M$, $N$, лежащие соответственно на рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$, проведена плоскость. Известно, что рёбра тетраэдра равны 1, объём пирамиды $ALMN$ равен $\sqrt{2}/48$ и $AL=1/3$. Какие значения может принимать длина отрезка $MN$?

Какие из значений 8, 43, 2010 может принимать $N$, если известно, что уравнение \[\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{N}\] имеет единственное решение в натуральных числах $x$ и $y$?