Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

На соревнования по лёгкой атлетике ученики школы приехали на автобусе, вмещающем не более 40 человек. Каждый из них участвовал в одном из видов соревнований. При этом $1/7$ часть учеников завоевали золотые медали, $1/4$ часть — серебряные и ещё $1/4$ — бронзовые. На обратном пути медалисты решили собрать деньги и купить по одному торту каждому из спортсменов, оставшемуся без медалей. Сколько тортов им придётся покупать?

Какие значения может принимать выражение $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $x^3-2015x+2016=0$?

В окружность с центром $O$ вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $M$, причём $AM=4$, $AB=6$. Определите, какой может быть наименьшая длина диагонали $BD$, если известно, что стороны $AB$ и $AD$ равноудалены от точки $O$.

Найдите сумму всех принадлежащих отрезку $[-75;5]$ целых решений неравенства \[ \dfrac{\sin\frac{\pi x}{2}-\cos\frac{\pi x}{2}+1}{\sin\frac{\pi x}{2}+\cos\frac{\pi x}{2}-1}\geqslant\sin\left(\arcsin\dfrac{x}{10}\right)-\dfrac{x}{10}. \]

Укажите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^2+2y^2+2y(x-a)+a^2=0, \\ 2^{-2-y}\cdot\log_2 x\lt 1 \end{cases} \] имеет решения, и найдите эти решения.