Олимпиада «Шаг в будущее»

При каком значении параметра $a$ наибольшее значение на $[0;1]$ функции \[ y=\left|-5x^2+4x+a\right| \] является наименьшим.

Два тела движутся по окружности в противоположных направлениях и встречаются каждые $24$ с. Если они начнут двигаться в одном направлении с теми же скоростями, то более быстрое тело будет догонять более медленное каждые $2$ мин $48$ с. На сколько секунд одно из тел проходит окружность быстрее, чем другое?

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $N$ и $M$ так, что \[ BN:NM:MC=1:2:4. \] На стороне $AC$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PC=3:2$. Отрезки $AN$ и $BP$ пересекаются в точке $K$, а отрезки $AM$ и $BP$ — в точке $T$. Найдите площадь треугольника $AKT$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1035.

Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на $5$ даёт остаток, равный $2$.

Из колбы, до краёв наполненной раствором кислоты, отлили одну 2024-ю часть и долили её водой. После этого отлили одну 2023-ю часть и снова долили водой. И так далее. Последнее отливание составило одну 2-ю часть всей колбы, после чего её опять долили водой. В итоге, концентрация кислоты в колбе стала равной 0,03%. Найдите изначальную концентрацию кислоты в растворе. Ответ дайте в процентах.

Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} x^2-2y+3+y^2+2x\lt 10,\\ |y+2x|\geqslant|3x+2y|. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих полученному множеству. В ответе укажите сумму всех ординат найденных точек, умноженную на их количество.

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3+1}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=15^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.

При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x^2-\left(a^2+a-1\right)x+a^3-a^2\leqslant0 \] содержит ровно пять целых значений $x$? Ответом должно являться число, вычисляемое по следующему правилу: 1) находится сумма квадратов всех чисел, находящихся на концах полученных отрезков, интервалов и полуинтервалов; 2) к полученному результату прибавляется столько единиц, сколько квадратных скобок содержит полученное множество значений параметра.

Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2020}$.