Олимпиада «Шаг в будущее»

При каком значении параметра $a$ наибольшее значение на $[0;1]$ функции \[ y=\left|-2x^2+x+a\right| \] является наименьшим.

Два тела движутся по окружности в одном направлении и встречаются каждые 3 минуты. Если эти тела начнут двигаться в противоположных направлениях с этими же скоростями, то будут встречаться каждые 36 секунд. За сколько секунд проходит окружность тело, имеющее меньшую скорость?

Угол, образованный биссектрисами внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$, равен $80^\circ$. Найдите угол $BAC$.

Решите уравнение \[ x^3-13x^2+39x+m=0, \] зная, что оно имеет три различных корня и его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию. В ответе укажите сумму значения $m$ и всех трёх его корней.

Раствор кислоты содержит воды на 8 граммов меньше, чем кислоты. Если в этот раствор добавить концентрированную кислоту, которая составит изначальной массы кислоты в растворе, то новый раствор содержал бы 80% концентрированной кислоты. Найдите начальную концентрацию кислоты в растворе. Ответ дайте в процентах.

Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} |x+2y|\lt |2x+3y|,\\ x^2-2x+4+y^2-2y\leqslant 6. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих множеству-ответу. В ответе укажите сумму всех абсцисс найденных точек, умноженную на их количество.

Правильный треугольник вписан в окружность радиуса $R=\dfrac{2}{\sqrt{\sqrt2+1}}$. Точка $P$, отличная от вершин треугольника, расположена на окружности. Найдите сумму расстояний от точки $P$ до двух ближайших вершин вписанного треугольника, если известно, что хорда, соединяющая эту точку с третьей вершиной треугольника, образует угол $\alpha=22{,}5^\circ$ с диаметром, проведённым из третьей вершины.

При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x^2-x\left(a^2+a+1\right)+a^3+a^2\leqslant 0 \] содержит ровно четыре целых значения $x$? В ответе укажите число, вычисляемое по следующему правилу: 1) находится сумма квадратов всех чисел, находящихся на концах полученных отрезков, интервалов и полуинтервалов; 2) к полученному результату прибавляется столько единиц, сколько квадратных скобок содержит полученное множество значений параметра.

Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2018}$.