Олимпиада «Шаг в будущее»

В классе проходят выборы старосты. На должность претендует три кандидата — Алексей, Сергей и Даша. Всего в классе 20 человек, сами кандидаты не могут голосовать. Вероятность получения каждого голоса для всех кандидатов одинакова. Найдите вероятность, что Сергею удастся набрать 8 голосов. Результат округлите до сотых.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ |x-a|-|2-x|=|x+1|+\dfrac{|x+1|}{x+1} \] имеет 1 решение. В ответе укажите сумму целых значений параметра $a$.

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $N$ и $M$ так, что \[ BN:NM:MC=1:2:4. \] На стороне $AC$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PC=3:2$. Отрезки $AN$ и $BP$ пересекаются в точке $K$, а отрезки $AM$ и $BP$ — в точке $T$. Найдите площадь треугольника $AKT$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1035.

Шарлотку испекли в прямоугольной форме и разрезали на кусочки вдоль и поперёк. В длину — три ряда и несколько рядов поперёк так, что верх стал похож на таблицу. В таблице три ряда и несколько строк. На каждый кусочек положили по несколько ягод малины, так что сумма всех ягод в первом ряду равна 62, во втором — 71, в третьем — 81, а сумма ягод в каждой строке больше 12, но меньше 15. На сколько кусков разрезали пирог?

Из колбы, до краёв наполненной раствором кислоты, отлили одну 2024-ю часть и долили её водой. После этого отлили одну 2023-ю часть и снова долили водой. И так далее. Последнее отливание составило одну 2-ю часть всей колбы, после чего её опять долили водой. В итоге, концентрация кислоты в колбе стала равной 0,03%. Найдите изначальную концентрацию кислоты в растворе. Ответ дайте в процентах.

Дана трапеция $MKPE$ с основаниями $ME$ и $KP$. $EA$ — расстояние от точки $E$ до прямой $MK$. Найдите тангенс угла $AEM$, если $MK=15$, $KP=11$, $PE=13$, $ME=25$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Для всех натуральных значений $x$, $y$ решите уравнение \[ ax^2=12+8xy, \] где $a$ остаток от деления числа $2\cdot 49^{2025}+5\cdot 3^{2024}$ на 8. Если такая пара $(x;y)$ единственная, то в ответе укажите сумму $x+y$. Если таких пар $(x;y)$ несколько, то в ответе укажите сумму всех найденных значений $x$, $y$. Если решений нет укажите 0.

Известно, что график функции \[ y=(x-1)\cdot\left(x^2-3a^2x+2a^4+a^2-1\right) \] пересекает оси координат ровно в трёх различных точках. Определите, при каких $a$ эти три точки образуют треугольник? В ответ запишите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Для некоторого простого числа $p$ рассматривается числовая последовательность $x_1$; $x_2$; $x_3$; …, где $x_n$ равно остатку от деления $p^{n+2}$ на 24. Найдите разность $x_{2024}-x_{2020}$.