Олимпиада «Шаг в будущее»

Играя, девочка Маша нашла $6$ папиных новых носков одинаковой формы (правый не отличается от левого) трех цветов: $2$ белых, $2$ серых и $2$ черных, при этом носки одинакового цвета визуально неразличимы. Маша решила их надеть по три штуки на каждую ногу. Сколькими способами она это может сделать, если важно, какой носок надет раньше, какой позже и на какую ногу, а также носки можно выворачивать наизнанку?

Найдите $30$-ю цифру после запятой в десятичной записи числа $\left(3+\sqrt7\right)^{100}$.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $A$ на стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. Прямые $AC$ и $BC$ пересекают эту окружность в точках $D$ и $E$ соответственно ($D\not\equiv A$, $E\not\equiv B$). Через точки $D$ и $E$ к окружности проведены касательные, пересекающиеся в точке $F$. Прямая $CK$ перпендикулярна прямой $AB$, а точка $K$ — точка пересечения прямых $BD$ и $CK$. Найдите радиус описанной около треугольника $ACK$ окружности, если $FD=6$, а угол $CBD$ равен $\arcsin 0{,}6$.

Сколько разных положительных значений, не превышающих десять миллионов, принимает многочлен \[ P(x,y)=x^3+8y^3-3xy^2-6x^2y-x-2y \] при всевозможных целых числах $x$ и $y$?

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$. Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$, наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\dfrac43$. Найдите угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$, если площадь сечения относится к площади основания призмы как $35:24$.

Зимой в городе выпало такое количество снега, что при расчистке улиц его некуда было складывать, поэтому коммунальная служба города организовала временные пункты плавления снега на прямоугольной площадке размером $4$ м длиной и $2$ м шириной. Ограждений по краям нет. Чтобы снег не осыпался за границы, угол наклона его поверхности к земле со всех сторон не должен превышать $\alpha$, где $\operatorname{tg}\alpha=3$. Снег насыпан так, что занимает максимально возможный объём при соблюдении этого условия. И при этом объем талой воды не превышает максимально возможный объем водоотвода.
Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины.

• Верхний слой (от $2H/3$ до $H$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.3$ м$^3$ воды.
• Средний слой (от $H/3$ до $2H/3$ метров высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.6$ м$^3$ воды.
• Нижний слой (от $0$ до $H/3$ метра высоты): $1$ м$^3$ снега даёт $0.9$ м$^3$ воды.

Найдите максимальный объём снега $V$, который можно разместить на площадке. Вычислите общий объём воды $W$, который образуется после полного таяния снега.