Олимпиада «Шаг в будущее»

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске, состоящей из $10\times10$ клеток, двух коней — белого и черного так, чтобы они угрожали друг другу? (Конь ходит буквой «Г», т. е. он может пойти на одно из полей, ближайших к тому, на котором он стоит, но не на той же самой горизонтали, вертикали или диагонали.)

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(|x-5|-|x-1|\right)\log_4(6-x)}{\left(9^x-12\cdot3^x+27\right)\log_3x}\leqslant0. \]

Окружность радиуса $1$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $3$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.

На произвольной параболе даны точки $A$ и $B$. Точка $C$ выбрана на дуге параболы между $A$ и $B$, так, что треугольник $ABC$ имеет максимальную площадь. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно оси симметрии параболы, пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $AM:MB$.

Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x-1|}(ax)=2\log_{|x-1|}(x+y),\\ 3-x=\sqrt{x^2-6x+y+8} \end{cases} \] имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, которая параллельна диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходит через середину стороны $AB$ основания $ABC$ и точку $M$, лежащую на стороне $B_1C_1$, если $MC_1=3B_1M$, расстояние между $AC_1$ и секущей плоскостью равно $3$, а сторона основания призмы равна $2\sqrt{14}$.