Всероссийская олимпиада школьников по математике

График квадратичной функции $y=ax^2+c$ пересекает оси координат в вершинах правильного треугольника. Чему равно $ac$?

На доске записано число 2018. Игорь дописывает в конец этого числа такую цифру, чтобы получившееся число было кратно 11, и делит его на 11. Затем он дописывает подходящую цифру в конец полученного частного и делит его на 11, и так далее. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ACP$ пересекаются в точке $M$, а биссектриса угла $PBA$ и прямая, содержащая биссектрису угла $BPC$, пересекаются в точке $N$. Докажите, что точка пересечения прямых $CP$ и $AB$ лежит на прямой $MN$.

Квадрат со стороной 7 клеток полностью замостили трёхклеточными «уголками» и пятиклеточными «плюсиками» (см. рисунок). Какое наибольшее количество «плюсиков» могло быть использовано?

Найдите все пары $(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющие условиям: $x^3+y^3=1$ и $x^4+y^4=1$.

Стороны основания кирпича равны 28 см и 9 см, а высота 6 см. Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие ее скорости $v_x$ и $v_y$ связаны соотношением $v_x^2+4v_y^2=1$ (например, на верхней грани $v_y=0$ см/мин, поэтому $v_x=v=1$ см/мин). Какое наименьшее время может затратить улитка на своё путешествие?