Всероссийская олимпиада школьников по математике

Назовём главными делителями составного числа $n$ два наибольших его натуральных делителя, отличных от $n$. Составные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что главные делители числа $a$ совпадают с главными делителями числа $b$. Докажите, что $a=b$.

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $BD=CE$. На дуге $DE$ описанной окружности треугольника $ADE$, не содержащей точку $A$, нашлись такие точки $P$ и $Q$, что $AB=PC$ и $AC=BQ$. Докажите, что $AP=AQ$.

Изначально на доске написана пара чисел $(1,1)$. Если для некоторых $x$ и $y$ на доске написана одна из пар $(x,y-1)$ и $(x+y,y+1)$, то можно дописать другую. Аналогично, если на доске написана одна из пар $(x,xy)$ и $\left(\frac{1}{x},y\right)$, то можно дописать другую. Докажите, что в каждой выписанной паре первое число будет положительным.

Дано натуральное число $n\gt 4$. На плоскости отмечены $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок $S$, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым ещё не помечен ни один отрезок, имеющий с $S$ общий конец. Для какого наибольшего $k$ Василий может действовать так, чтобы пометить какой-то отрезок числом $k$?

На доске написаны 11 целых чисел (не обязательно различных). Может ли оказаться, что произведение любых пяти из них больше, чем произведение остальных шести?

Дано натуральное число $n\gt 5$. На кольцевой полоске бумаги написана последовательность из нулей и единиц. Для каждой последовательности $w$ из $n$ нулей и единиц посчитали количество способов вырезать из полоски фрагмент, на котором написана $w$. Оказалось, что наибольшее количество $M$ достигается на последовательности $11\underbrace{00\ldots0}_{n-2}$, а наименьшее (возможно, нулевое) — на последовательности $\underbrace{00\ldots0}_{n-2}11$. Докажите, что есть и другая последовательность из $n$ нулей и единиц, встречающаяся ровно $M$ раз.

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$, а на стороне $AD$ — точка $F$ так, что описанная окружность треугольника $ABE$ касается отрезка $CF$. Докажите, что описанная окружность треугольника $CDF$ касается прямой $AE$.

Для натурального числа $N$ рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из $N$ вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от $N$.