Всероссийская олимпиада школьников по математике

За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них — либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: «Моё число больше, чем у каждого из двух моих соседей». После этого $k$ из сидящих сказали: «Моё число меньше, чем у каждого из двух моих соседей». При каком наибольшем $k$ это могло случиться?

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа $n$, $n+1$, $\ldots$, $n+8$. При каких $n$ он сможет это сделать?

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрисы угла $ABC$ и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую $AC$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Из точек $B_1$ и $B_2$ провели касательные к окружности, вписанной в треугольник $ABC$, отличные от прямой $AC$. Они касаются этой окружности в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $K_1$ и $K_2$ лежат на одной прямой.

После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени $T$ рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента $T$?

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $BK$ — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника $AKB$, пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L$. Докажите, что $CB+CL=AB$.

Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что $(2+a)(2+b)\geqslant cd$.

Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?