Аналитическая геометрия и векторная алгебра

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=2$, $AA_{1}=6$. Точка $N$ — середина ребра $CD$, точка $M$ расположена на ребре $CC_{1}$, причём $C_{1}M:CM=1:2$, $K$ — точка пересечения диагоналей грани $AA_{1}D_{1}D$. Найдите угол между прямыми $KM$ и $A_{1}N$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=6$, $AA_{1}=2$. Точки $F$ и $K$ расположены на рёбрах $AD$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно, причём $AF:FD=C_{1}K:KB_{1}=1:2$, $P$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$. Найдите угол между прямыми $PK$ и $B_{1}F$.

а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$ б) В тетраэдре $ABCD$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$, $AD=DB=2$, $DC=4$. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины $D$.

а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$ б) Дан тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=BD=3$, $AC=CD=5$, $AD=BC=4$. Найдите $AM$, где $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$.

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $\sqrt{3}$.

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $3$.

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $1$.
а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $(ACD_1)$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACD_1$.

Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $1$.
а) Докажите, что точки $B$ и $C_1$ равноудалены от плоскости $(ACD_1)$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $(ACD_1)$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA=7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC=SK:KC=1:2$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна $SA$.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $(SBC)$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=15$ и $BC=25$. Боковые ребра пирамиды равны $5\sqrt{17}$. На ребрах $AD$ и $BC$ отмечены соответственно точки $K$ и $N$ так, что $AK=CN=8$. Через точки $K$ и $N$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная ребру $SB$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SD$ и $KM$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны $5$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=4$ и диагональю $BD=7$. Все боковые рёбра пирамиды равны $4$. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=3$.
а) Докажите, что плоскость $(CEF)$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $(CEF)$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $(ABC)$.