Интегрирование по частям

Вычислить: $\int_0^{e-1}\ln(x+1)\,dx$.

Доказать, что если $I_m=\int_1^e\ln^mx\,dx$, то $I_m=e-mI_{m-1}$.

Составить рекуррентную формулу для $I_n=\int_{-1}^0x^ne^x\,dx$ ($n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$).

Вычислить: $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{x\,dx}{\sin^2 x}$.

Вычислить: $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x^3\sin x\,dx$.

Применив формулу интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.
Замечание. Этот интеграл берётся также заменой $x=\sin t$, но, пожалуйста, выполните задание: воспользуйтесь интегрированием по частям.

Преобразовав подынтегральную функцию и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} x\sin^22x\,dx$.