Окружность

Окружность разделена в отношении $3:7:8$, и точки деления соединены между собой. Найти углы полученного треугольника.

Окружность разделена в отношении $2:3:4$, и точки деления соединены между собой. Найти углы полученного треугольника.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CBD=58^{\circ}$, $\angle ABD=44^{\circ}$, $\angle ADC=78^{\circ}$. Найти угол $CAD$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CBD=42^{\circ}$, $\angle ABD=37^{\circ}$, $\angle ADC=101^{\circ}$. Найти угол $CAD$.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд (формулировка, доказательство).

Теорема о вписанном угле (формулировка, доказательство для случаев, когда центр окружности находится на стороне угла; находится внутри угла).

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AB=CD=15$, $\angle AMC=60^{\circ}$ и $AC=3\,BD$. Найти стороны треугольника $BMD$.

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AB=CD=9$, $\angle AMC=60^{\circ}$ и $AC=2\,BD$. Найти стороны треугольника $BMD$.

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Продолжения противоположных сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, сторон $BC$ и $AD$ — в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перпендикулярны.

Четыре точки окружности следуют в порядке: $A$, $B$, $C$, $D$. Продолжение хорды $AB$ за точку $B$ и хорды $CD$ за точку $C$ пересекаются в точке $E$, причём угол $AED$ равен $60^{\circ}$. Угол $ABD$ в три раза больше угла $BAC$. Докажите, что $AD$ — диаметр окружности.

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекая сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Угол $AEC$ в 5 раз больше угла $BAF$, а угол $ABC$ равен $72^{\circ}$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$.

На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $5 : 2 : 1 : 10$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.

На окружности выбраны точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, что дуги $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ относятся как $3 : 2 : 13 : 7$ соответственно.
а) Найти угол между хордами $AC$ и $BD$.
б) Найти угол между прямыми $AD$ и $BC$.

Через точку $M$, удаленную на расстояние $8{,}5$ от центра окружности диаметра 25, проведена хорда длины 20. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.

Через точку $M$, удаленную на расстояние 12 от центра окружности радиуса 16, проведена хорда длины 22. Найти длины отрезков, на которые эта хорда делится точкой $M$.

Окружность касается сторон $AD$, $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Отрезок $BM$ пересекает окружность в точке $P$. Найти сторону $AB$ прямоугольника, если хорда $PM$ окружности равна $2\sqrt5$.

Окружность касается сторон $AD$, $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ в точках $M$, $K$ и $N$ соответственно. Отрезок $BM$ пересекает окружность в точке $P$. Найти сторону $AB$ прямоугольника, если хорда $PM$ окружности равна $6\sqrt5$.

Окружность проходит через вершины $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ и касается стороны $BC$ в ее середине. Через точку $C$ к окружности проведена касательная $CK$ ($K$ — точка касания), которая пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCE$, если $AD=4$ и $ED : EK=2:3$.

Окружность проходит через вершины $A$ и $D$ прямоугольника $ABCD$ и касается стороны $BC$ в ее середине. Через точку $C$ к окружности проведена касательная $CK$ ($K$ — точка касания), которая пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$. Найти площадь трапеции $ABCE$, если $AD=6$ и $ED : EK=3:7$.

Окружность разделена точками $A$, $B$, $C$, $D$ так, что $\smile AB:\smile BC:\smile CD:\smile DA=2:3:5:6$. Проведены хорды $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $M$. Найдите угол $AMB$.