Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а $AA_1$ и $BB_1$ — его высоты. Найдите расстояние от точки $O$ до стороны $AC$, если $AB_1=6$ и площадь треугольника $OBA_1$ равна $6$.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная биссектрисе $AX$ треугольника $ABC$, проходящая через середину $M$ его стороны $BC$, пересекает сторону $AB$ и продолжение стороны $AC$ в точках $Z$ и $Y$ соответственно. Найдите $BC$, если $AC=18$, $AZ=6$, $YZ=8$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество треугольников периметра 600 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Ответ:
Решение:
Найдите количество треугольников периметра $1200$ с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Ответ:
Решение:
Высоты $CF$ и $AE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AH$ и $CH$ соответственно. Известно, что $FM=2$, $EN=5$, и при этом $FM\parallel EN$. Найдите $\angle ABC$, площадь треугольника $ABC$ и радиус описанной около него окружности.
Ответ:
Решение:
Внутри угла $ABC$, меньшего $135^\circ$, взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC$, $AM\perp BM$ и $AN\perp BN$. Прямая $MN$ пересекает луч $BC$ в точке $K$. Найдите $BN$, если $BM=24$, $BK=3$.
Ответ:
Решение:
Внутри угла $ABC$, меньшего $135^\circ$, взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC$, $AM\perp BM$ и $AN\perp BN$. Прямая $MN$ пересекает луч $BC$ в точке $K$. Найдите $MK$, если $BM=6$, $BK=\sqrt{11}$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD$, и в каждый из полученных треугольников $ABD$ и $BCD$ вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину $B$ и центр одной из окружностей, пересекает сторону $DA$ в точке $M$. При этом $AM=\frac85$ и $MD=\frac{12}5$. Аналогично, прямая, проходящая через вершину $D$ и центр второй окружности, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. При этом $BN=\frac{30}{11}$ и $NC=\frac{25}{11}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Найдите длины сторон $AB$ и $CD$, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Найдите длины сторон $AB$ и $CD$, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медианы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $M$. Окружность, построенная на отрезке $BM$ как на диаметре, проходит через вершину $C$ и касается прямой $DE$. Известно, что $CM=4$. Найдите высоту $AH$ треугольника $ABC$, угол $CBD$ и площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=12$, $AB=17$, $CA=10$ из вершины $B$ опущены перпендикуляры $BD$ и $BE$ на биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ соответственно. Найдите длину отрезка $DE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB\gt AC$ и $\angle A=40^\circ$. На стороне $AB$ взяли точку $D$ так, что $BD=AC$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $N$ — середина отрезка $AD$. Найдите угол $BNM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, а точка $E$ лежит на отрезке $AD$. Известно, что углы $ABE$, $DBE$ и $CBD$ равны, а длина отрезка $DE$ вдвое меньше длины отрезка $CD$ и втрое меньше длины отрезка $AE$. Найдите углы $ABE$ и $ACB$.
Ответ:
Решение:
Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, а их длины равны соответственно $30$, $24$ и $18$. Найдите площади треугольников $ABC$ и $OA_1C$, а также радиус окружности, описанной около треугольника $OA_1C$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=2$ проведены медиана $CM$ и биссектриса $CL$.
1. Найдите отношение площадей треугольников $CML$ и $ABC$.
2. Найдите тангенс угла $MCL$.
1. Найдите отношение площадей треугольников $CML$ и $ABC$.
2. Найдите тангенс угла $MCL$.
Ответ:
Решение:
Длина медианы $AD$ треугольника $ABC$ равна $3$, длины сторон $AB$ и $AC$ — $5$ и $7$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BL$. Найдите площадь треугольника $ABM$, если площадь треугольника $ABL$ равна 10.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ACB$, если $AB:OC=2$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BL$. Найдите все возможные значения периметра треугольника $ABC$, если длина стороны $AB$ равна 7, а длины двух других сторон выражаются целыми числами.
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $2$. На его стороне $AC$ выбрана такая точка $D$, что $BD=4$, а $\angle ADB=60^\circ$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
$AZ$ и $CX$ — биссектрисы треугольника $ABC$, а $Y$ — их точка пересечения. Найдите длину стороны $AC$ этого треугольника, если $\angle ABY=\alpha$, площадь треугольника $ABC$ равна $S$, а площади треугольников $ABZ$ и $ACX$ равны.
Ответ:
Решение: