Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В течение $2N$ дней Петя планирует готовиться к экзаменам по $N$ различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день он готовится только к одному предмету. Сколькими способами Петя может выбрать порядок, в котором он будет готовиться к экзаменам?
Ответ:
Решение:
На столе рубашкой вверх была разложена колода из $36$ игральных карт. Лёша перевернул $30$ карт, затем Макс перевернул $19$ карт, а после этого Боря — $21$ карту. В результате вся колода оказалась рубашкой вниз. Сколько карт было перевёрнуто трижды?
Ответ:
Решение:
Набор чисел $a$, $b$, $c$ каждую секунду заменяется на $a+b-c$, $b+c-a$, $c+a-b$. В начале имеется набор чисел $1000$, $987$, $998$. Через некоторое время получился набор $4067$, $6115$, $x$. Какое наибольшее значение может принимать $x$?
Ответ:
Решение:
У фокусника есть два набора по $40$ карточек. На карточках каждого набора написаны различные натуральные числа от $1$ до $40$ (по одному числу на карточке). Фокусник перемешал карточки в каждом из наборов. После чего карточки первого набора он положил сверху на карточки второго набора. Затем он посчитал количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми числами и сложил полученные $40$ чисел. Какую наименьшую сумму он мог получить?
Ответ:
Решение:
Фишка покрашена в два цвета. Одна сторона — в красный, другая — в синий. На стол положили красной стороной вверх $100$ фишек. Вася перевернул $55$ фишек, затем Коля перевернул $68$ фишек, наконец, Петя перевернул $77$ фишек. Оказалось, что теперь все фишки лежат синей стороной вверх. Сколько фишек переворачивали все трое ребят?
Ответ:
Решение:
Два преподавателя получили два одинаковых набора экзаменационных билетов, написанных на карточках: по $30$ карточек с билетами каждый. Первый перемешал свои карточки и положил их стопкой на стол, потом второй перемешал свои карточки и положил их стопкой сверху на первую стопку. Они подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми билетами, и сложили полученные результаты ($30$ чисел). Какую наибольшую сумму они могли получить?
Ответ:
Решение:
В некотором классе каждый ученик либо всегда говорит ложь, либо всегда говорит правду. При этом каждый из них знает про остальных, кто лжец, а кто — нет. На сегодняшнем собрании присутствовали все ученики класса, и каждый сообщил, кем является каждый из остальных. Ответ «лжец» при этом прозвучал $272$ раза. Вчера проводилось такое же собрание, но один из учеников отсутствовал. Тогда ответ «лжец» прозвучал $256$ раз. Сколько учеников в таком классе?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 165 магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Хотя бы по одному магистру из каждого ордена есть. Какое наибольшее число из сидящих за столом могло сказать: «Через 5 человек от меня есть магистр из ордена Рыцарей»?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $70$ магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда говорят правду). Каждому из них дали карточку, на которой написано натуральное число (все числа на карточках различны). Каждый из сидящих за столом сравнил своё число с числами на карточках соседей и сказал: «У меня число больше, чем числа у каждого из двух моих соседей». Какое наибольшее количество из сидящих за столом после этого может сказать: «У меня число меньше, чем числа у каждого из двух моих соседей».
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $28$ магистров двух орденов: ордена Лжецов (они всегда лгут) и ордена Рыцарей (они всегда говорят правду). Все магистры знают, к какому из двух орденов принадлежит любой магистр, сидящий за столом. Каждый из сидящих за столом дал ответы на два вопроса: к какому ордену принадлежит его сосед слева и к какому ордену принадлежит его сосед справа. Мудрецу, который знает, что за столом есть магистры ордена Лжецов, но их меньше, чем магистров ордена Рыцарей, сообщили количество ответов «орден Рыцарей» и ответов «орден Лжецов». После этого мудрец смог точно назвать количество магистров из ордена Лжецов. Какое наименьшее количество ответов «орден Лжецов» могло быть получено?
Ответ:
Решение:
За круглым столом сидят 15 волшебников. У каждого из них по одной волшебной палочке. Волшебники договорились, что некоторые из них будут говорить только правду, а другие — неправду. Каждый из них отдал свою волшебную палочку одному из двух своих соседей. После этого 5 волшебников сказали: «Теперь у меня нет волшебной палочки», а остальные 10 волшебников сказали: «У меня по-прежнему ровно одна волшебная палочка». Какое наибольшее число волшебников могло сказать правду?
Ответ:
Решение:
Учитель математики договорился с пришедшими на кружок $23$ учениками, что они выберут, кто из них будет лжецом (всегда лгать), а кто — рыцарем (всегда говорить правду). После чего учитель раздал ученикам карточки с числами, причем числа на всех карточках различны. Ученики встали по кругу и посмотрели карточки соседей. После этого каждый из учеников сказал: «Число на моей карточке больше, чем у моих соседей». Какое наибольшее количество учеников могут сказать: «Число на моей карточке меньше, чем у моих соседей»?
Ответ:
Решение:
В мешке $90$ шаров, отличающихся только цветом: $25$ красных, $25$ синих, $25$ жёлтых и $15$ зелёных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее $15$ шаров одного цвета?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n\gt 1$ верно утверждение: из любых $n$ натуральных чисел можно выбрать два, разность квадратов которых делится на $399$?
Ответ:
Решение:
Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем $M$ можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся $M$ человек, указавших один и тот же фильм?
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \log_{3^{x-1}}\left(x^2-11x+19\right)+\log_{27^{x-1}}x^3=\dfrac{2}{x-1}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \log_{x^2-2x}\left(2-3^{4x-x^2}\right)=\log_{6-x}\left(2-3^{4x-x^2}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x$, при каждом из которых одно из трёх данных чисел \[ \log_{x^2}\left(x^2-10x+21\right),\quad \log_{x^2}\frac{x^2}{x-7}\quad\text{и}\quad \log_{x^2}\frac{x^2}{x-3} \] равно сумме двух остальных.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x$, при каждом из которых одно из трёх данных чисел \[ \log_x\left(x-\frac{13}{6}\right),\quad \log_{x-\frac{13}{6}}(x-3)\quad\text{и}\quad \log_{x-3}x \] равно произведению двух остальных.
Ответ:
Решение: